Informazioni generali

• Anno di corso: 3°
• Semestre: 1°
• CFU: 6

Docente responsabile

Massimo CAVACECE (6CFU)

Programma del corso

Modelli lineari a 1 gdl. Vibrazioni libere. Vibrazioni forzate. Determinazione del fattore di smorzamento. Isolamento dalle vibrazioni. Potenza media dissipata. Risposta del sistema ad un impulso. Velocità critica flessionale. Il modello di attrito colombiano.

Modelli lineari a due gradi di libertà. Vibrazioni libere. Vibrazioni forzate. Lo smorzatore dinamico delle vibrazioni. Tipologie di smorzamento dinamico.

Modelli lineari a più gradi di libertà. Vibrazioni libere non smorzate. Formulazione classica del problema agli auto valori. Proprietà dei modi propri di vibrare. Disaccoppiamento delle equazioni del moto. Vibrazioni forzate non smorzate. Vibrazioni smorzate. Moti di vibrazione rigidi. Stabilità del moto. Quoziente di Rayleigh. Metodi iterativi di calcolo degli autovalori Riduzione di Guyan.

Dinamica dei rotori. Equazioni delle frequenze. Metodo di Dunkerley. Metodo della linea elastica. Il modello Foppl – de – Laval. Bilanciamento degli alberi rigidi. Vibrazioni torsionali. Il metodo di Holzer.
Analisi di sistemi soggetti ad impatto. Analisi dello spettro della risposta allo shock. Analisi di impatto al suolo. Massima accelerazione e spostamento. Imbottitura caratterizzata da elasticità non lineare. Relazioni accelerazioni – tempo. Fattore di amplificazione.

Analisi di Fourier. Funzioni periodiche. Ottimizzazione nel calcolo dei coefficienti. Serie di Fourier in notazione complessa. Risposta a sollecitazione periodica. Integrale di Fourier. Trasformazione nel dominio delle frequenze. Trasformata discreta di Fourier (DFT). Il teorema di convoluzione. Errori nella DFT: Aliasing e Leakage.

Vibrazioni longitudinali di travi. Equazione del moto. Soluzione per separazione di variabili. Ortogonalità dei modi di vibrare.

Vibrazioni trasversali delle travi. Modello di Eulero – Bernoulli. Vibrazioni trasversali libere. Ortogonalità dei modi di vibrare. Vibrazioni forzate. Modello di Timoshenko.

Vibrazioni torsionali delle travi. Vibrazioni torsionali libere. Vibrazioni forzate.

Metodi variazionali. Il metodo di Rayleigh – Ritz. Sintesi dei moti componenti. Algoritmo di Lanczos.

Metodo agli elementi finiti. Elemento trave soggetto a forza assiale. Sistemi di coordinate locali e globale. Elemento trave: modello di Eulero – Bernoulli. Condizioni al contorno. Assemblaggio delle matrici.

Esperienze applicative in laboratorio. Metodo agli elementi finiti nell’analisi dinamica di un elemento di macchina. Acquisizioni di segnali mediante l’utilizzo di catene di misura accelerometriche. Sviluppo della Trasformata discreta di Fourier. Analisi modale sperimentale. Acquisizioni di segnali da prove di impatto.

Obiettivi del Corso

La finalità del corso è quella di fornire allo studente conoscenze di base sulla dinamica delle macchine e degli elementi di macchine. Al termine del corso l’allievo è in grado di eseguire l’analisi dinamica di organi delle macchine. Gli studenti sviluppano abilità sui seguenti argomenti proposti in laboratorio:

• Applicazione del metodo agli elementi finiti per l’analisi dinamica di un elemento di macchina;
• Acquisizioni di segnali mediante l’utilizzo di catene di misura accelerometriche;
• Trasformata discreta di Fourier di un segnale accelerometrico;
• Analisi modale sperimentale di una trave in condizioni di vibrazioni libere e forzate;
• Acquisizioni di segnali da prove di impatto;
• Elaborazione di dati acquisiti mediante stazione fonometrica.

Testi di riferimento

Diapositive delle lezioni

Per la Consultazione:

Ettore Pennetrì, Dinamica Tecnica e Computazionale, Volume 1, Seconda Edizione, Casa Editrice Ambrosiana.

Modalità di Esame

La valutazione viene eseguita mediante la discussione degli elaborati, sviluppati in laboratorio.

 

Mechanical Vibrations

Contents

Single-DOF Linear mechanical system.

Free vibrations. Forced vibrations. Determination of the damping factor. Vibration isolation. Average power dissipation. Impulse response. Flexural critical speed. Colombian damping.

Linear models with two-degrees-of-freedom.

Free vibration. Forced vibrations. Hysteretic damping. Viscous damping.

Multidegree of Freedom System.

Using Newton’s second law to derive Equations of Motion. Free and forced vibration of undamped systems. ​​Forced vibration of viscously damped systems. Solution of the Eigenvalue Problem. Self-excited and stability analysis. Rayleigh’s method. Holzer’s method. Jacobi’s method. Choleski decomposition. Iterative methods for calculating eigenvalues by Guyan reduction.

Rotor dynamics.

Method Dunkerley . The model Föppl-de-Laval. Critical Speeds. Stability analysis. Balancing of shaft drives. Torsional vibrations . The method of Holzer.

Analysis of systems subjected to impact .

Analysis of the spectrum of the response to the shock . Analysis of the impact on the ground. Maximum acceleration and displacement . Padding characterized by nonlinear elasticity . Relations acceleration – time . Amplification factor .

Vibration Measurement and Application.

Spectrum analyzers. Bandpass filter. Modal Testing. Digital signal processing. Analysis of random signals. Determination of modal data from observed picks and from Nyquist Plot. Discrete Fourier transform (DFT). The convolution theorem. Errors in DFT. Aliasing and Leakage .

Continuous systems.

Longitudinal vibrations of bar or rod. Equation of motion and solution. Orthogonality of the normal functions.

Transverse vibrations of beams. Initial and Boundary conditions. Model Euler-Bernoulli. Free transverse vibrations . Travelling wave solution . Forced vibrations . Timoshenko model .

Torsional vibrations of beams. Torsional vibration free. Forced vibrations .

Variational methods.

The method of Rayleigh – Ritz. Lanczos algorithm .

Finite element method.

Beam element subjected to axial force. Local and global coordinate systems. Model of Euler – Bernoulli . Boundary conditions. Assembly of mass and stiffness matrices.

Application experience in the laboratory.

Finite element method in the dynamic analysis of an element of the machine. Acquisitions of signals through the use of accelerometric measurement chains. Development of the Discrete Fourier Transform. Experimental modal analysis. Acquisition of signals from impact tests.

Aims of the Course

The purpose of the course is to provide students with basic knowledge about the dynamics of machines and machine elements. At the end of the course the student is able to perform dynamic analysis of organs of the machines. Students develop skills developed in the laboratory on the following topics:

• Application of finite element method for dynamic analysis of an element of the machine;
• Acquisitions of signals through the use of accelerometric measurement chains;
• Discrete Fourier transform of an accelerometer signal;
• Experimental modal analysis of a beam under conditions of free and forced vibrations;
• Acquisition of signals from impact tests;
• Processing of data acquired by phonometric station.

Examination Procedures

The evaluation is performed through the discussion of the applications, developed in the laboratory.