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Geometria II

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Informazioni generali

  • Anno di corso: 2°
  • Semestre: 1°
  • CFU: 6

Docente responsabile

Antonio Rapagnetta

Obiettivi del corso

L’obiettivo principale del corso è di  presentare argomenti di complemento di algebra lineare e di fornire nozioni di base della geometria Euclidea e della geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio.

Prerequisiti

Corso di Geometria I

Contenuti del corso

Gli argomenti principali previsti sono i seguenti:

  • Spazi vettoriali numerici euclidei. Basi ortonormali, Gram-Schmidt. Prodotti vettoriali di R^3. Disuguaglianza di Schwarz. Orientazione. Isometrie degli spazi euclidei: traslazioni, matrici ortogonali 2×2 e isometrie di R^2. Isometrie di R^3: rotazioni attorno ad un asse, riflessioni ortogonali.
  • Operatori autoaggiunti e loro proprietà, diagonalizzazione di matrici simmetriche tramite matrici ortogonali. Forme bilineari simmetriche, matrici e forme quadratiche loro associate. Nozioni di base su coniche e quadriche.
  • Curve regolari: parametrizzazioni per lunghezza d’arco, triedo mobile di Frenet, curvatura scalare, rette tangenti normali e binormali, piano osculatore, cerchio oscuratore, torsione, Formule di Frenet, rappresentazione implicita e polare. Il teorema fondamentale per le curve.
  • Rappresentazioni regolari di superfici dello spazio euclideo: superfici regolarmente immerse. Quadriche, cilindri, coni e superfici tangenti ad una curva bi-regolare. L’involuta e l’evoluta di una curva bi-regolare,  superfici di rotazione. Funzioni differenziabili su una porzione di superficie S, il piano tangente, normali, linee coordinate. La prima forma fondamentale e i suoi coefficienti: lunghezza di archi di curve di S, angoli tra vettori tangenti aree di porzioni di superficie. Tempo permettendo, cenni sulla mappa di Gauss e sulla seconda forma fondamentale: curvature e sezioni normali. Curvature e direzioni principali, classificazione dei punti in: planari, parabolici, ellittici ed iperbolici.

Materiale di studio consigliato

Esercizi e note reperibili sulle pagina web:

http://www.mat.uniroma2.it/~rapagnet/

Note, esercizi e libri utilizzati durante il corso di Geometria 1 del primo anno (materiale indicato sui siti dei relativi docenti). Appunti tratti dalle lezioni.

Testi consigliati:

  • Do Carmo: “Differential Geometry of Curves and Surfaces”, Prentice Hall 1976.
  • Abate, F. Tovena: “Curve e superfici”, Universitext, Springer 2006,
  • Presley: “Elementary Differential Geometry”, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer 2001.
  • Campanella: “Curve e Superfici Differenziabili: esercizi svolti”, Aracne Editrice, 2000.

Modalità d’esame

Prova scritta e prova orale: due appelli a Febbraio, due a Luglio e due a Settembre.

 

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Geometry 2

 

Aim of the Course 

The aim of the course is to discuss some complementary arguments of linear algebra and to present the basic notions of Euclidean geometry and differential geometry of curves and surfaces in the Euclidean space.

Prerequisites

Geometry I

Contents

  • Aim of the Course: The aim of the course is to discuss some complementary arguments of linear algebra and to present the basic notions of Euclidean geometry and differential geometry of curves and surfaces in the Euclidean space.
  • Contents: Euclidean vector spaces. Orthonormal basis, Gram-Schmidt algorithm. Vector products in R^3. Cauchy–Schwarz inequality. Orientations. Isometries of two and three dimensional Euclidean vector spaces
  • Self-adjoint operators and symmetric matrices. Symmetric bilinear forms, quadratic forms and associated matrices, Classification of the Euclidean conics and quadrics.
  • Regular and bi-regular curves, natural parametrization, Frenet’s trihedron, scalar curvature, tangent, normal and binormal lines, osculating plane and circumference, torsion,  Frenet’s formulas, implicit and polar representation of a curve. The fundamental theorem for curves..
  • Regular parametrizations for surfaces in the Euclidean space: embedded surfaces. Quadrics, cylinders, cones and surfaces which are tangent to a bi-regular curve, the involute and the evolute of a bi-regular curve,  surfaces of revolution. Differentiable functions on a surface portion,  the tangent plane and its normal, coordinate lines The first fundamental form and its coefficients: length of a curve in S, angle among tangent vectors and area of a portion of S.
  • Time permitting: the Gauss map, the second fundamental form, curvature and normal section, curvature and principal directions. Planar, parabolic, hyperbolic and elliptic points.

 

Study material

More information about the course are available at

http://www.mat.uniroma2.it/~rapagnet/

  • Do Carmo: “Differential Geometry of Curves and Surfaces”, Prentice Hall 1976.
  • Abate, F. Tovena: “Curve e superfici”, Universitext, Springer 2006,
  • Presley: “Elementary Differential Geometry”, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer 2001.
  • Campanella: “Curve e Superfici Differenziabili: esercizi svolti”, Aracne Editrice, 2000.

Examination procedures

Examination procedures: the exam consists of a written test and oral examination. It will take place in the scheduled sessions: two in February 2015, two in june/july 2015 and two in September 2015.

 

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