Analisi Matematica I

Informazioni generali

  • Anno di corso: 1°
  • Semestre: 1°
  • CFU: 12

Docenti responsabili

1° canale: Giovanni BELLETTINI

sito di riferimento : http://www.mat.uniroma2.it/~principa/

2° canale: Giuseppe BENFATTO

sito di riferimento : http://www.mat.uniroma2.it/~benfatto/

3° canale: Alberto BERRETTI

sito di riferimento : http://analisi1.ing.uniroma2.it/berretti/

4° canale: Francesco FIDALEO

sito di riferimento : http://www.mat.uniroma2.it/~fidaleo/

5° canale: Roberto PEIRONE

sito di riferimento : http://www.mat.uniroma2.it/~peirone/

6° canale: Gabriella TARANTELLO

sito di riferimento : http://www.mat.uniroma2.it/~tarantel/

Obiettivi del corso

Familiarizzazione con i concetti base dell’Analisi Matematica e con i primi rudimenti di calcolo. Apprendimento del linguaggio necessario per la formalizzazione matematica che verrà utilizzato negli altri corsi.

Prerequisiti

Nessuno.

Contenuti del corso

Numeri reali
  • Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà
  • Potenze, radici e logaritmi
  • Alcune nozioni di calcolo combinatorio
Funzioni reali di una variabile
  • Dominio, immagine e grafico
  • Funzioni monotone e funzioni invertibili
  • Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche Successioni
  • Limite di una successione: definizione e proprietà
  • Successioni monotone
  • Forme indeterminate, limiti notevoli
  • Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass
  • Il principio di induzione
Limiti di funzioni reali
  • Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale
  • Limite di una funzione: definizione e proprietà
  • Infinitesimi, infiniti e confronti
  • Forme indeterminate, limiti notevoli
Continuità
  • Funzioni continue
  • Punti di discontinuità
  • Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass
  • Teorema degli zeri
  • Continuità della funzione inversa
  • Uniforme continuità
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
  • Derivabilità e retta tangente
  • Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione
  • Estremi locali e derivate
  • Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy
  • Monotonia e derivate
  • Teorema di de L’Hopital e applicazioni
  • Derivate successive; concavità e convessità
  • Studio del grafico di funzioni
  • Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti
Numeri complessi
  • Definizione
  • Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari
  • Radici n-sime complesse
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
  • Topologia in Rn: punti di accumulazione, insiemi aperti, chiusi, compatti
  • Limiti e continuità in Rn
  • Derivate parziali e direzionali
  • Differenziabilità e piano tangente, gradiente
  • Teorema del differenziale totale
(NB altri argomenti collegati verranno studiati nel corso di Analisi Matematica II)
Integrali
  • Definizione di integrale di Riemann, proprietà
  • Classi di funzioni integrabili
  • Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  • Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione
  • Integrazione delle funzioni razionali
  • Integrabilità’ in senso improprio
  • Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze
  • Assoluta integrabilità in senso improprio
  • Applicazioni alle funzioni speciali (es. funzione Gamma etc.)
Equazioni differenziali ordinarie
  • Equazioni differenziali e problema di Cauchy
  • Equazioni del primo ordine lineari
  • Equazioni del primo ordine a variabili separabili
  • Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee
  • Applicazione all’equazione dell’oscillatore armonico
(NB altri argomenti collegati verranno studiati nel corso di Analisi Matematica II)

Materiale di studio consigliato

  • M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, “Elementi di Analisi Matematica”, McGraw Hill, 2007.

Modalità d’esame

 

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