Analisi Matematica II

Informazioni generali

Docente responsabile

Tommaso ISOLA

Obiettivi del corso

Completare lo studio delle nozioni fondamentali di analisi matematica con particolare attenzione agli aspetti geometrici del calcolo differenziale e integrale in più variabili e alle applicazioni in fisica.

Prerequisiti

Anche se non sono previste propedeuticità formali, prima di frequentare il corso di Analisi Matematica II è fortemente consigliato di aver sostenuto gli esami di Analisi Matematica I e Geometria.

Contenuti del corso

Serie numeriche
  • Definizione e proprietà elementari
  • Serie a termini non negativi
  • Criteri di convergenza (confronto, radice, rapporto)
  • Serie numeriche e integrali impropri
  • Convergenza assoluta
  • Serie a termini di segno qualsiasi, criterio di Leibniz
Successioni e serie di funzioni
  • Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni
  • Scambio di limiti con la derivata e l’integrale
  • Serie di potenze
  • Raggio di convergenza e criteri per determinarlo
  • Derivazione e integrazione per serie
  • Serie di Taylor, funzioni analitiche
  • Serie di Fourier e applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali
Calcolo differenziale per funzioni vettoriali
  • Matrice jacobiana
  • Rotore e divergenza di campi vettoriali, proprietà
  • Massimi e minimi liberi
  • Matrice hessiana, condizioni per la determinazione di estremi liberi
  • Estremi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (cenni)
Integrali multipli secondo Riemann
  • Definizione di integrale multiplo secondo Riemann
  • Calcolo dell’integrale mediante le formule di riduzione
  • Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan
  • Insiemi di misura nulla e integrabilità di funzioni generalmente continue
  • Integrazione di funzioni continue su domini semplici
  • Cambio di variabili nell’integrale
  • Coordinate cilindriche e polari nello spazio
Curve e campi vettoriali
  • Curve nel piano e nello spazio: definizioni e proprietà
  • Curve regolari, retta tangente
  • Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea
  • Integrali curvilinei di funzioni e di campi vettoriali
  • Campi vettoriali conservativi e irrotazionali, potenziale
  • Il teorema di Gauss-Green e della divergenza nel piano
Funzioni di variabile complessa
  • Funzioni olomorfe, esempi e proprietà
  • Sviluppo in serie di potenze
  • Punti singolari, serie di Laurent
  • Formula di Cauchy
  • Il teorema dei residui e sue applicazioni
Trasformata di Laplace
  • Trasformata di Laplace, definizione ed esempi (es. funzione Gamma, funzione impulso etc)
  • Proprieta’ della trasformata: linearita’, olomorfia, teoremi del valore iniziale e finale, smorzamento, similitudine e ritardo.
  • Convoluzione e trasformata di integrali e derivate.
  • Trasformata di funzioni periodiche.
  • Antitrasformata di Laplace: teorema di unicita’, teorema dei residui, antitrasformazione per serie.
  • Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie lineari con termine forzante discontinuo o impulsivo.
  • Trasformata di Fourier e applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali (cenni)

Materiale di studio consigliato

  • R. A. Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Ed. Ambrosiana
  • M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Matematica + 2 Eserciziari, Zanichelli
  • M. Bertsch, R. Dal Passo, Giacomelli, Elementi di Analisi Matematica, McGraw-Hill
  • B. P. Demidovic, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti (solo esercizi)

Modalità d’esame

 

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